命題１２
２つの立方数の間に、２つの比例中項数があり、立方数は立方数に対し、辺が辺に持つ比の3乗の比を持つ。
AとBを立方数とし、CをAの辺、DをBの辺とする。
AとBの間に2つの比例中項があり、AはBに対しCがDに持つ比の3乗の比を持つことをいう。
CにCを掛けてEを作り、Dを掛けてFを作り、DにDを掛けてGを作り、CとDにFを掛けてそれぞれHとKを作る。
さて、Aは立方数であり、Cはその辺であり、CにCを掛けてEを作るから、それゆえにCにCを掛けてEを作りEを掛けてAを作る。同じ理由でまたDにDを掛けてGを作りGを掛けてBを作る。
そして、CにCとDを掛けてそれぞれEとFを作るから、それゆえにCはDに対し同じようにEはFに対する。同じ理由でまたCはDに対し同じようにFはGに対する。再度、CにEとFを掛けてそれぞれAとHを作るから、それゆえにEはFに対し同じようにAはHに対する。しかしEはFに対し同じようにCはDに対する。それゆえにCはDに対し同じようにAはHに対する。propositionⅦ．１７、propositionⅦ．１８
再度、CとDにFを掛けてそれぞれHとKを作るから、それゆえにCはDに対し同じようにHはKに対する。再度DにそれぞれFとGを掛けてKとBを作るから、それゆえにFはGに対し同じようにKはBに対する。propositionⅦ．１８、propositionⅦ．１７
しかしFはGに対し同じようにCはDに対し、それゆえにCはDに対し同じようにAはHに対し、同じようにHはKに対し、同じようにKはBに対する。
それゆえにHとKはAとBの間の2つの比例中項である。
次にAもまたBに対してCがDに持つ比の3乗の比を持つことをいう。
A、H、K、Bが比例する4つの数であるから、それゆえにAはBに対してAがHに持つ比の3乗の比を持つ。definitionⅤ．１０
しかしAはHに対し同じようにCはDに対し、それゆえにAはまたBにCがDの持つ比の3乗の比を持つ。
それゆえに、２つの立方数の間に、２つの比例中項数があり、立方数は立方数に対し、辺が辺に持つ比の3乗の比を持つ。
証明終了